考研数学二2015考研数学冲刺训练200题（数学二）（适合第二、三轮复习所用，针对考研数学进行专项复习训练！） 下载 pdf 2025 网盘 epub 在线 mobi 免费

　　本书为数学二考生第二、三轮复习所用，针对考研数学进行专项复习训练。对于考生，适当做一些练习题目是必须的，合理设计的专项训练可以帮助考生对一类问题解题的模式方法进行突击性联系。本书针对综合题目设计大量练习题目配合详细的求解解答，帮助考生复习综合类答题的方法和知识点。

第一部分高等数学

　专题一极限的求解及应用

　专题二数列的极限

　专题三无穷小及其阶

　专题四函数的连续性

　专题五导数与微分的概念与几何意义

　专题六常见函数的求导法

　专题七利用导数研究函数的性质、状态

　专题八函数零点的存在与个数问题

　专题九微分中值定理

　专题十不等式证明

　专题十一泰勒公式及其应用

　专题十二一元函数积分的概念与性质

　专题十三常用积分求法

　专题十四反常积分

　专题十五定积分的几何、物理应用

　专题十六多元函数的极限、连续、偏导数与全微分

　专题十七复合函数求导法

　专题十八多元函数的极值、最值问题

　专题十九二重积分

　专题二十微分方程的概念和解的性质

　专题二十一一阶微分方程的求解

　专题二十二二阶线性微分方程

　专题二十三可降阶及含变限积分的方程

　专题二十四微分方程的简单应用

第二部分线性代数

　专题一行列式计算

　专题二矩阵的运算

　专题三矩阵可逆的判别及逆矩阵求法

　专题四初等变换

　专题五矩阵方程的求解

　专题六向量的线性表出

　专题七向量组的线性相关问题

　专题八向量组的极大线性无关组、秩和矩阵的秩

　专题九线性方程组的求解和解的判定

　专题十方程组的公共解和同解问题

　专题十一矩阵的特征值和特征向量

　专题十二相似矩阵和相似对角化

　专题十三二次型及其标准形和正定性

　专题十四合同矩阵

　　胡金德、谭泽光，资深考研数学专家，多年命题人，长期从事考研数学的命题、阅卷与辅导，了解考生。连续13年（1989-2001年）参加国家硕士研究生入学考试数学命题工作及考试大纲的制定，北京地区1997-2001年硕士研究生入学考试数学阅卷部（共15个阅卷组组成）总负责人

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　　第一部分高等数学

　　专题一极限的求解及应用

　　极限概念及其计算一直是考研大纲中要求理解、掌握的重点考查内容，求极限是历年考研真题中的常考题型，在选择题、填空题、解答题中均有出现，如：13（9）题，12（10），（15）题，11（15）题，10（16）题，09（15）题，08（15）题，07（11）题，06（18）题.

　　求函数的极限主要有七种：00型，∞∞型，0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型，求解方法如下：

　　1）用初等数学（例如三角、对数、指数、分子与分母同乘以某式、提公因式等）中的恒等变形，使得能约分的就约分；

　　2）如果有因式极限存在但不为0，那么可将这种因式按乘积运算法则提出来另求；

　　3）用洛必达法则；

　　4）用等价无穷小替换；

　　5）对于1∞型，00型，∞0型可以化为指数型复合函数的极限计算；

　　6）皮亚诺余项泰勒公式；

　　7）导数定义求极限；

　　8）最基本的求解方法为极限的四则运算定理，复合函数求极限，连续函数求极限，以及几个重要极限.

　　1.（2013年第9题）limx→02－ln(1+x)x1x=.

　　【详解】

　　limx→02－ln(1+x)x1x=limx→01+1－ln(1+x)x11－ln(1+x)x1x［1－ln(1+x)x］

　　=limx→0e1x［1－ln(1+x)x］=elimx→01x［1－ln(1+x)x］，

　　其中limx→01x1－ln(1+x)x=limx→0x－ln(1+x)x2

　　=limx→01－11+x2x=limx→0x2x(1+x)

　　=12.

　　故,原式＝e12.

　　2.（2009年第15题）求极限limx→0(1－cosx)x－ln(1+tanx)sin4x.

　　【详解】解法一：当x→0时，1－cosx~12x2,sin4x~x4,则

　　limx→0(1－cosx)x-ln(1+tanx)sin4x=limx→012x2x－ln(1+tanx)x4

　　＝12limx→0x－ln(1+tanx)x2

　　=12limx→01－11+tanxsec2x2x

　　=12limx→01+tanx－sec2x2x(1+tanx)

　　=14limx→0tanx－tan2xx=14.

　　解法二：limx→01－cosx［x－ln(1+tanx)］sin4x=limx→012x2［x－ln(1+tanx)］sin4x

　　=12limx→0x－ln(1+tanx)x2

　　=12limx→0x－tanx－tan2x2+o(x2)x2,ln(1+x)=x－x22+o(x2)

　　=12limx→0(x－tanx)+tan2x2-o(x2)x2

　　=14limx→0tan2xx2=14.

　　【1.1】limx→01+x+1－x-21－cosx=.

　　【1.2】limx→01ln(1－x)+1sinx=.

　　【1.3】limx→0(cosx)1ln(1+sin2x)=.

　　【1.4】求极限limx→0ln(1+x2)－ln(1+sin2x)(1－cosx)ln(1－sin2x).

　　【1.5】求极限limx→0ln(1+x)xex－11－cosx.

　　【1.6】求极限limx→0f(x).

　　f(x)＝e1－ex2ln(1+x),x>0,

　　0,x=0,

　　(cosx)1ln(1+x2),x<0.

　　【1.7】若limx→0sin2x+xf(x)x3=0，求limx→02+f(x)x2.

　　【1.8】求极限limx→0x－ln(x+1)－cosx3cos3x5cos5x·…·2n－1cos(2n－1)xln(2－cosx).

　　【1.9】确定a与b的值，使得

　　limx→+∞xx4+ax－x3+x2+32bxxe=14.

　　【1.10】求极限limx→02+e1x1+e4x+sinxx.

　　【1.11】已知limx→01+x+f(x)x21sinx=e3，求limx→0f(x)x3.

　　【1.12】设limx→1－sinp(1－x)·∫+∞0e－t2ln1xdt存在且不为0，求常数p的值及该极限值.

　　【1.13】设f(x)可微且limx→+∞f(x)=1，求limx→+∞∫x+2xtf(t)·lnt+1tdt.

　　答案详解

　　【1.1】由1－cosx~12x2(x→0)，用洛必达法则

　　原式＝limx→01+x+1－x－212x2=limx→0121+x－121－xx

　　=limx→01－x－1+x2x1+x·1－x=limx→01－x－1+x2x

　　=limx→0－121－x－121+x2=－12.

　　【1.2】所求极限为“∞－∞”型未定式，应首先通分化为“00”型未定式后，再进行求解.

　　limx→01ln(1－x)+1sinx=limx→0sinx+ln(1－x)ln(1－x)sinx=limx→0sinx+ln(1－x)－x2

　　=limx→0cosx－11－x－2x

　　=－12limx→011－xlimx→0(1－x)cosx－1x

　　=－12limx→0cosx－1x－cosx

　　=－12(0－1)=12.

　　当遇到0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0等未定式时，需先把未定式转化为00或∞∞型，再用洛必达法则求解.

　　【1.3】解法一：属1∞型.

　　原式=limx→01+(cosx－1)1cosx－1·cosx－1ln(1+sin2x)

　　=limx→0ecosx－1ln(1+sin2x).

　　利用等价无穷小因子替换得

　　limx→0(cosx－1)·1ln(1+sin2x)=limx→0－12x2sin2x=－12.

　　即：原式＝e－12.

　　解法二：属1∞型，用求指数型极限的一般方法.

　　原式＝limx→0e1ln(1+sin2x)lncosx，

　　而limx→0lncosxln(1+sin2x)=limx→0lncosxx2

　　=limx→0－sinxcosx2x=－12，

　　即:原式＝e－12.

　　【1.4】先作恒等变形：

　　原式＝limx→0ln1+x2－sin2x1+sin2x(1－cosx)ln(1－sin2x).

　　然后用等价无穷小因子替换：x→0时

　　1－cosx~12x2,ln1+x2－sin2x1+sin2x~x2－sin2x1+sin2x~x2-sinx，

　　ln(1－sin2x)~－sin2x~－x2.

　　于是原式＝limx→0－2x2－sin2xx4

　　=－2limx→0x+sinxxlimx→0x－sinxx3

　　=－2·2limx→0x－sinxx3.

　　由洛必达法则得：

　　原式＝-4limx→01－cosx3x2=－23.

　　已知x→x0时，limx→x0φ(x)=0，limx→x0ψ(x)＝A.

　　可得x→x0时，

　　ln(1+φ(x))～φ（x）

　　所以limx→x0ln(1+φ(x))=limx→x0φ(x)=0,

　　同理：

　　limx→x0φ(x)ψ(x)=limx→x0φ(x)A=0.

　　其中极限x→x0变为x→0及x→∞等时上述结论也可成立.

　　【1.5】这是1∞型的极限.

　　解法一：M=limx→0ln(1+x)xex－11－cosx=limx→01+ln(1+x)x-11ln(1+x)x－1·ln(1+x)x－1ex－11－cosx

　　=eA.

　　其中：A=limx→0ln(1+x)x－1ex－11－cosx=limx→0ln(1+x)－xx·(ex－1)12x2

　　=limx→0ln(1+x)－xx·2x=limx→02·ln(1+x)－xx2

　　=2limx→011+x－12x=2limx→0－x2x(1+x)=-1.

　　所以，原式=e-1.

　　解法二：利用泰勒公式求解，由

　　ln(1+x)=x－12x2+o(x2),x→0,

　　得：

　　A=limx→0ln(1+x)x－1ex－11－cosx

　　=2·limx→0ln(1+x)－xx2

　　=2·limx→0－12x2+o(x2)x2=－1

　　所以，原式=e－1.

　　1.4、1.5两个小题均是1∞型，1∞型未定式求极限通常有两种方式：

　　limx→x0φ(x)=1，limx→x0μ(x)=∞

　　方法一：利用等价无穷小的形式化简

　　limx→x0φ(x)μ(x)=limx→x01+φ(x)－11φ(x)－1·μ(x)［φ(x)－1］=limx→x0eμ(x)［φ(x)－1］.

　　方法二：把1∞型未定式化为以e为底数的幂函数

　　limx→x0φ(x)μ(x)=limx→x0eμ(x)lnφ(x).

　　【1.6】limx→0+f(x)=limx→0+e1－ex2x=e－12.

　　limx→0－f(x)=limx→0－(cosx)1ln(1+x2)=limx→0－e1ln(1+x2)lncosx.

　　因为

　　limx→0－lncosxln(1+x2)=limx→0－lncosxx2

　　=limx→0－-sinxcosx2x=－12.

　　所以limx→0－f(x)=e－12.

　　因为limx→0f(x)=limx→0+f(x)=e-12.

　　所以limx→0f(x)=e-12.

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