新编考研数学必做主观题500题精析 下载 pdf 2025 网盘 epub 在线 mobi 免费

本书是根据*考试中心制定的全国硕士研究生入学统一考试《数学考试大纲》编写的。全书分为主观题集与主观题解两部分，内容涉及大纲中要求的高等数学、线性代数及概率论与数理统计三门学科。

本书内容全面，解法新颖，不少题目一题多解且方法独特，是广大考生的良师益友。

部分 主观题集

篇 计算题

A.高等数学

一、一元函数微分学

二、一元函数积分学

三、多元函数微分学

四、多元函数积分学

五、级数*△

六、微分方程

B.线性代数

一、行列式的计算

二、矩阵的运算

三、向量组的线性相关性及矩阵的秩

四、线性方程组

五、相似矩阵与二次型

C.概率论与数理统计*△

一、随机事件与概率

二、一维随机变量及其分布

三、多维随机变量及其分布

四、随机变量的数字特征

五、大数定律与中心极限定理

六、数理统计

第二篇 证明题

A.高等数学

一、一元函数微积分

二、多元函数微积分

三、级数与微分方程

B.线性代数

一、行列式与矩阵

二、向量组的线性相关性

三、线性方程组

四、相似矩阵及二次型

C.概率论与数理统计*△

一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布

三、随机变量的数字特征

四、数理统计

第三篇 应用题

A.高等数学

一、微积分在几何中的应用

二、函数的值

三、物理应用*○

四、微积分在经济中的应用△

五、其他应用

B.线性代数与概率统计

第二部分 主观题集

篇 计算题

A.高等数学

一、一元函数微分学

二、一元函数积分学

三、多元函数微分学

四、多元函数积分学

五、级数

六、微分方程

B.线性代数

一、行列式的计算

二、矩阵的运算

三、向量组的线性相关性及矩阵的秩

四、线性方程组

五、相似矩阵与二次型

C.概率论与数理统计

一、随机事件与概率

二、一维随机变量及其分布

三、多维随机变量及其分布

四、随机变量的数字特征

五、大数定律与中心极限定理

六、数理统计

第二篇 证明题

A.高等数学

一、一元函数微积分

二、多元函数微积分

三、级数与微分方程

B.线性代数

一、行列式与矩阵

二、向量组的线性相关性

三、线性方程组

四、相似矩阵及二次型

C.概率论与数理统计

一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布

三、随机变量的数字特征

四、数理统计

第三篇 应用题

A.高等数学

一、微积分在几何中的应用

二、函数的值

三、物理应用

四、微积分在经济中的应用

五、其他应用

B.线性代数与概率统计

考研数学试题(2006~2008年)知识点分布表 数学一

考研数学试题(2009~2011年)知识点分布表 数学一

考研数学试题(2006~2008年)知识点分布表 数学二

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考研数学试题(2006~2008年)知识点分布表 数学三

考研数学试题(2009~2011年)知识点分布表 数学三

蔡子华

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篇 计算题

A .高等数学

一、一元函数微分学

（一） 极限

1 .已知f（ x） ＝ ax3 + bx2 + cx + d

x2 + x - 2 ，lim x → ∞ f（ x） ＝ 1 ，且lim x → 1 f（ x） ＝ 0 ，求a ，b ，c .

2 .求下列各极限：

（1） lim n → ∞

1 - 1

22 1 - 1

32 … 1 - 1

n2 ；

（2） lim n → ∞

（1 + x）（1 + x2 ）（1 + x4 ） … （1 + x2 n ） （ | x | ＜ 1） .

3 .求下列各极限：

（1） lim x → 0 csc2 x - 1

xsinx ；　　　　　　　（2） lim x → 0 sin2 x

1 + xsin x - cosx

；

（3） lim x → ∞ sin 1

x + cos 1

x

x

； （4） lim x → + ∞

a1/ x

1 + a1/ x

2 + … + a1/ x

n

n

n x

；

（5） lim x → π

4 tan2 xtan π

4 - x ； （6） lim x → + ∞

3 x3 + x2 + x + 1 - x .

4 .求下列各极限：

（1） lim x → 0 + ex - 1 - x

1 - x - cos x

； （2） lim n → ∞

ln 1 + 1

n - sin 1

n

arctan 1

n

2 .

5 .求下列各极限：

（1） lim n → ∞

n3

n2 + 1sin 1

n2 cosn2 ； （2） lim n → ∞ sin（π n2 + 1） .

6 .求下列各极限：

（1） lim n → ∞

1 + 12

n2 1 + 22

n2 … 1 + n2

n2

1

n ；

（2） lim n → ∞

π

n cos π

n + 2π

n cos 2π

n + … + （ n - 1）π

n cos （ n - 1）π

n + nπ

n cos nπ

n sin π

n .

7 .求下列各极限：

（1） lim n → ∞

1 + 1

2 + 13

+ … + 1

n + 1

n + 1

1 + 1

2 + 13

+ … + 1

n

； 　　（2） lim n → ∞ ∫n+ p

n sin x

x dx （ p ＞ 0） .

8 .求lim x → + ∞

∫x

0 t | cost | dt

x2 .

9 .求lim n → ∞ Σ

n

i ＝ 1

n

n2 + i + 1sin α + in

β .

10 .求lim x → 0∫x

- x

1

x 1 - | t |

x cos（ b - t）dt .其中b 为常数.

11 .设F（ x） ＝ ∫x

0 tf （ x2 - t2 ）dt ，f（ u） 可微，f（0） ＝ 0 ，f′（0） ＝ 1 .求lim x → 0

F（ x）

x4 .

12 .求lim x → 0 sinx - sin（sinx）

x3 .

13 .设f（ x + h） ＝ f（ x） + f′（ x） h + f ″（ x）

2 ！ h2 + f ?（ x + θh）

3 ！ h3 （0 ＜ θ ＜ 1） ，f（ x） 有四

阶连续导数，且f（4） （ x） ≠ 0 ，求lim h → 0

θ .

14 .已知f（ x） ＝ 1

1 - x2 ，求lim x → ∞ f［ f（ x）］ .

15 .设f（ x ，y） 有一阶连续偏导数，f（1 ，1） ＝ 1 ，f′x （1 ，1） ＝ 2 ，f′y （1 ，1） ＝ - 3 .设φ（ x） ＝

f｛ x ，f［ x ，f（ x ，x2 ）］｝ ，求lim x → 1 ln［ φ（ x）］

x - 1 .

16 .设f（ u） 在点u ＝ 0 的某个邻域内连续，在点u ＝ 0 处可导，且f（0） ＝ 0 ，f′（0） ＝ 3 .

求lim t → 0

簇

x2 + y2 ≤ t2

f（ x2 + y2 ）dxdy

π t3 .

17 *△ .求lim x → 0

Σ ∞

n ＝ 1

xn+ 1

n

∫x

0 et2 dt

.

18 *△ .求lim n → ∞

1

n Σ

n

k ＝ 1

1

k ！

k

3

k

.

19 *△ .求lim n → ∞

12

+ 3

22 + … + 2 n - 1

2n .

20 .设f（ x） 可微，且lim x → ∞ f（ x） ＝ 1 .求lim x → + ∞ ∫x + 2

x t f （ t）sin 1t

dt .

（二） 函数的连续性

1 .设f（ x） ＝ lim n → ∞

x2 n- 1 + ax2 + bx

x2 n + 1 是连续函数，求a ，b 之值.

2 .设f（ x） ＝

1 ，　　x ≥ 0 ，

- 1 ， x ＜ 0 ，

g（ x） ＝ sin x ，讨论f［ g（ x）］ 的连续性.

3 . 设f（ x） ＝ ex ，　　x ＜ 0 ，

a + x ， x ≥ 0 ，

g（ x） ＝

b ，　　　　x ＜ 1 ，

x2 + 1 ， x ≥ 1 .

试求a ，b的值使f （ x） + g（ x）

在（ - ∞ ， + ∞ ） 内连续.

4 .设f（ x） ＝

xα sin 1

x ，　x ＞ 0 ，

ex + β ， x ≤ 0 ，

试根据不同的α ，β ，讨论f（ x） 在点x ＝ 0 处的连续性，

并指出间断点的类型.

（三） 导数与微分

1 *○ .设函数y ＝ y（ x） 由方程组

x ＝ 3 t2 + 2 t + 3 ，

y ＝ ey sint + 1 所确定，求dy

dx t ＝ 0

.

2 .已知f（ x） ＝

x2 sin 1

x ，　　　　x ＞ 0 ，

ln（1 - x） + xe- x ， x ≤ 0 ，

求f′（ x） .

3 .设函数θ（ x） 在（ - ∞ ，+ ∞ ） 内连续，f（ x） ＝ cosθ（ x） ，f′（ x） ＝ sinθ（ x） .对θ（ x0 ） ≠ nπ

的x0 ，求θ′（ x0 ） .

4 .设f（ x）的定义域为所有非零实数之全体，对任何非零实数x ，y ，f（ xy） ＝ f（ x） + f（ y） ，且

f′（1） 存在.

（1） f（ x） 还有哪些点的导数存在？ （2） 求f（ x） .

5 .设f n （ x） ＝ f｛ f［ … f（ x）］｝ （共n 重f ） ，若f（ x） ＝ x

1 + x2 ，求d f n （ x）

dx .

6 .设函数f（ x） 在x ≤ x0 有定义，且二阶导数存在.问如何选择a ，b ，c ，可使下面函数有二

阶导数存在？

F（ x） ＝

f（ x） ，　　　　　　　　　　x ≤ x0

a（ x - x0 ）2 + b（ x - x0 ） + c ， x ＞ x0

7 .设y ＝ arctanx ，求y（ n） （0） .

8 .设y ＝ ex

x ，求y（ n） .

9 .设f（ x） ＝ sin xcosxcos2 xcos4 xcos8 x ，求f（ n） （0） .

10 .设函数y ＝ y（ x） 由方程xef（ y） ＝ ey 所确定，其中f 有二阶导数且f′ ≠ 1 ，求d2 y

dx2 .

11 .设函数f（ x） 在点x ＝ 0 的某个邻域内二阶可导，且lim x → 0

3sin x + x f （ x）

x3 ＝ 0 .求f（0） ，

f′（0） ，f″（0） .

12 .设f（ x） ＝

φ（ x） - cosx

x2 ，　x ≠ 0 ，

a ， x ＝ 0 ，

其中φ（ x） 具有三阶导数，且φ（0） ＝ 1 ，φ′（0） ＝ 0 ，

φ″（0） ＝ 1 ，φ?（0） ＝ 6 .

（1） 确定a 的值，使f（ x） 在点x ＝ 0 处连续；

（2） 求f′（ x） ；

（3） 讨论f′（ x） 在点x ＝ 0 处的连续性.

13 .设函数

f（ x） ＝

1 - 2 x2 ， x ＜ - 1

x3 ， - 1 ≤ x ≤ 2

12 x - 16 ， x ＞ 2

（1） 写出f（ x） 的反函数g（ x） 的表达式；

（2） 讨论g（ x） 的连续性、可导性，并求g′（ x） .

（四） 中值定理与导数的应用

1 .设对于x ∈ （ - ∞ ， + ∞ ） ，f（ x） 满足微分方程

x f″（ x） + φ（ x）［ f′（ x）］2 ＝ eax - 1

其中a ≠ 0 为常数，φ（ x） 为连续函数且lim x → 0

φ（ x）

x 存在.假设f′（ x0 ） ＝ 0 ，讨论f（ x） 在点x0 是

否取得极值，若取得极值是极大值还是极小值.

2 .设f（ x） ＝

x2 x ，　　x ＞ 0 ，

xex + 1 ， x ≤ 0 ，求f（ x） 的极值.

3 .设f（ x） 满足af （ x） + bf 1

x ＝ c

x ，其中a ，b ，c 都是常数且| a | ≠ | b | .

（1） 证明：f（ x） ＝ - f（ - x） ；

（2） 求f′（ x） ，f″（ x） ，f（ n） （ x） ；

（3） 若c ＞ 0 ， | a | ＞ | b | ，则a ，b 满足什么条件f （ x） 才有极大值和极小值？

4 *○ .设曲线的参数方程为

x ＝ t2 + 1 ，

y ＝ 3 t + t3 ，其中t ＞ 0 ，求曲线的凹凸区间和拐点.

5 .设y ＝ x3 + 4

x2 .

（1） 求函数y 的单调区间及极值；

（2） 求函数图像的凹凸区间及拐点；

（3） 求函数图像的渐近线；

（4） 作出函数的图形.

6 .求曲线x ＝ t + 2

t2 - 1 ，y ＝ 1

t（ t2 - 1） 的渐近线.

7 .若以A（ k） 表示函数y ＝ x2 - 2 kx 在［ - 1 ，2］ 上的值与小值之差，试求A（ k） 的

小值（ - ∞ ＜ k ＜ + ∞ ） .

（五） 有关方程的根的问题

1 .在区间0 ≤ x ≤ π 上研究方程sin3 xcos x ＝ a （ a ＞ 0） 实根的个数.

2 .研究方程xln x + A ＝ 0 实根的个数.

3 .设f（ x） ＝ a0 + a1 cosx + a2 cos2 x + … + an cosnx ，其中a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 都是实数，且

an ＞ | a0 | + | a1 | + … + | an- 1 | .讨论方程f（ n） （ x） ＝ 0 实根的个数.

4 .设f（ x） 是n 次多项式：

f（ x） ＝ a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn 　（ an ≠ 0）

且f（ x0 ） ＝ f′（ x0 ） ＝ f″（ x0 ） ＝ … ＝ f（ m） （ x0 ） ＝ 0 ，f（ m+ 1） （ x0 ） ≠ 0 （ m ＜ n - 1） .试问x ＝ x0

是方程f（ x） ＝ 0 的多少重根？

二、一元函数积分学

（一） 不定积分

1 .求下列各不定积分：

（1）∫ ln2 x

xln4 xdx ；　　　　　　　　　　　　（2）∫ x

1 + x2 + （1 + x2 ）3/2 dx ；

（3）∫ dx

a2 cos2 x + b2 sin2 x （ a ＞ 0 ，b ＞ 0） ； （4）∫ xearctan x

（1 + x2 ）3/2 dx ；

（5）∫cosxcos2 xcos3 xdx ； （6）∫ dx

x6 （1 + x2 ） ；

（7）∫ sin x + cos x

x sin2 x dx ； （8）∫ x2

（ xsinx + cos x）2 dx ；

（9）∫ x + 1

x（1 + xex ）dx ； （10）∫e2 x （tan x + 1）2 dx ；

（11）∫ dx

xln x 1 + ln2 x

； （12）∫（ x + | x | + 1）2 dx .

2 .建立Im ＝ ∫ dx

cosm x 的递推公式.

3 .设f′（sin2 x） ＝ cos2 x + tan2 x ，当0 ＜ x ＜ 1 时，求f（ x） .

4 .设f′（lnx） ＝ e ，　1 ≤ x ≤ e ，

x ，　e ＜ x ＜ + ∞ ，且f（1） ＝ e ，求f（ x） .

5 .设F（ x） 是f（ x） 的原函数，当x ≥ 0 时有f（ x） F（ x） ＝ sin2 2 x ，且F（0） ＝ 1 ，F（ x） ≥ 0 ，

求f（ x） .

6 .求出两多项式函数P（ x） ，Q（ x） ，使得下面等式成立：

∫［（2 x4 - 1）cos x + （8 x3 - x2 - 1）sin x］dx ＝ P（ x）cos x + Q（ x）sin x + C

（二） 定积分

1 .计算下列定积分：

（1）∫π

0 sinx - sin3 xdx ； （2）∫2

- 2 max（1 ，x2 ） + sin2 xln 4 + x

4 - x dx ；

（3）∫π

2

0 cos9 x - sin9 x

cos x + sin x dx ； （4）∫1

0 dx

（ x + 1） x2 + 1

；

（5）∫1

e sin（lnx）dx ； （6）∫π

0 cosn xcosnxdx .

2 .设f（ x） ＝

x ，　　0 ≤ x ≤ 1 ，

2 - x ， 1 ＜ x ≤ 2 ，求∫4

2 f（ x - 2）e- x dx .

3 .设函数f（ x） 处处可导，且∫2 x

x f （ t）dt ＝ sinxcos3 x + x .试求f（0） ，f′（0） .

4 .设函数g（ x） 处处连续，且g（1） ＝ 6 ，∫1

0 g（ x）dx ＝ 8 ，f（ x） ＝ 1

2∫x

0

（ x - t）2 g（ t）dt .试求

f″（1） ，f?（1） .

5 . 不恒等于0 的连续函数f（ x） （ x ∈ （ - π ，π）） 满足f2 （ x） ＝ ∫x

0 f（ t） 1 + sint

1 + costdt ，求f π

2 .

6 *○ .设f（ x） ＝ ∫x

1 dt

（ t2 + 1）（ t2 + 9） ，试求∫ 3

1

f′（ x）

1 + f2 （ x）dx .

7 .设函数f（ x） 可导且有f′（ x） + x f′（ x - 1） ＝ 4 ，又

∫1

0 f（ xt）dt +∫x

0 f（ t - 1）dt ＝ 2 x3 + x2 + 2

x

求∫0

- 1 f（ x）dx .

8 .计算下列定积分：

（1）∫nπ

0

1 - sin2 xdx ； （2）∫nπ

0 x | sin x | cos2 xcos4 xdx .

9 .设函数f（ x） 是任意的二次多项式，g（ x） 是某个二次多项式，且已知

∫1

0 f（ x）dx ＝ 1

6 f（0） + 4 f 1

2 + f（1）

求∫b

a g（ x）dx .

10 .计算下列反常（广义） 积分：

（1）∫+ ∞

- ∞

（ | x | - x）e- | x | dx ； （2）∫32

12

dx

| x - x2 |

.

11 .设f（ x） ＝

x ，　　0 ≤ x ＜ 1 ，

2 - x ， 1 ≤ x ＜ 2 ，

0 ， 其他，

求F（ x） ＝ ∫x

- ∞ f（ t）dt 的表达式.

12 . 设f（ x） 是［ - a ，a］上的连续偶函数，且f（ x） ＞ 0 .又F（ x） ＝∫a

- a | x - t | f（ t）dt （ a ＞ 0） ，

求F（ x） 在［ - a ，a］ 上的小值.

三、多元函数微分学

1 .设z ＝ f［ x2 - y2 ，cos（ xy）］ ，x ＝ rcosθ ，y ＝ rsinθ ，求?z

?r .其中f 有一阶连续偏导数.

2 .设z ＝ y

f （ x2 - y2 ） ，其中f 为可微函数.求1

x

?z

?x + 1

y

?z

?y .

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